“附加题2：设△abc中，顶点a，b，c的对边分别是a，b，c，内心i到顶点a，b，c的距离分别为m，n，l，求证：al^2+bm^2+cn^2=abc”

这一题看似条件不足无从下手，但秦克略一思索，便有了思路。

他决定用面积法来证明。

面积法最基本的思想，就是用两种不同的方法计算同一个面积，得到的结果应该是相等的。

首先引入△abc的外接圆半径r，由正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r，

三角形面积s=(1/2)absinc

=(1/2)ab·c/2r

=abc/4r，

所以s=abc/4r。

再将△abc分割为3个四边形，Δabc的面积s，显然等于3个四边形的面积之和s。

如此便将上面的s=abc/4r与3个四边形面积之和，建立起面积等式。

再根据3个四边形都有外接圆，且对角线相互垂直，用已知量来表示它们的面积并不会太难，再借助△abc的外接圆半径r可以消去角的正弦，不出意外，轻易就能证明这题的结论。

ok，开干。

“证明：设△abc内切圆与三边bc，ca，ab分别相切于d，e，f，分别连接ef，ei，fi，di，ai，分别得到aeif，bfid，cdie三个四边形……”

“所以s△abc=saeif+sbfid+scdie=（al^2+bm^2+cn^2）/4r，又因为s△abc=abc/4r，由面积法可知两种方法求得的s△abc相等，由此得出al^2+bm^2+cn^2=abc”

秦克神色轻松地放下笔，最后检查了一遍确定没漏题后，看看左右的考生，见人人都做得眉头紧锁，全文彦倒已恢复了正常，正刷刷刷地答题。